Что значит исследовать функцию на четность. Четность функции
Функция
называется четной (нечетной), если для
любогои выполняется равенство
.
График четной
функции симметричен относительно оси
.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Пример 6.2. Исследовать на четность или нечетность функции
1)
;
2)
;
3)
.
Решение .
1) Функция определена
при
.
Найдем
.
Т.е.
.
Значит, данная функция является четной.
2) Функция определена
при
Т.е.
.
Таким образом, данная функция нечетная.
3) функция определена для , т.е. для
,
.
Поэтому функция не является ни четной,
ни нечетной. Назовем ее функцией общего
вида.
Функция
называется возрастающей (убывающей) на
некотором интервале, если в этом интервале
каждому большему значению аргумента
соответствует большее (меньшее) значение
функции.
Функции возрастающие (убывающие) на некотором интервале называются монотонными.
Если функция
дифференцируема на интервале
и имеет положительную (отрицательную)
производную
,
то функция
возрастает (убывает) на этом интервале.
Пример 6.3 . Найти интервалы монотонности функций
1)
;
3)
.
Решение .
1) Данная функция определена на всей числовой оси. Найдем производную .
Производная равна
нулю, если
и
.
Область определения – числовая ось,
разбивается точками
,
на интервалы. Определим знак производной
в каждом интервале.
В интервале
производная отрицательна, функция на
этом интервале убывает.
В интервале
производная положительна, следовательно,
функция на этом интервале возрастает.
2) Данная функция
определена, если
или
.
Определяем знак квадратного трехчлена в каждом интервале.
Таким образом, область определения функции
Найдем производную
,
,
если
,
т.е.
,
но
.
Определим знак производной в интервалах
.
В интервале
производная отрицательна, следовательно,
функция убывает на интервале
.
В интервале
производная положительна, функция
возрастает на интервале
.
Точка
называется точкой максимума (минимума)
функции
,
если существует такая окрестность точки
,
что для всех
из этой окрестности выполняется
неравенство
.
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.
Если функция
в точке
имеет экстремум, то производная функции
в этой точке равна нулю или не существует
(необходимое условие существования
экстремума).
Точки, в которых производная равна нулю или не существует называются критическими.
5. Достаточные условия существования экстремума.Правило 1
.
Если при переходе (слева направо) через
критическую точку
производная
меняет знак с «+» на «–», то в точке
функция
имеет максимум; если с «–» на «+», то
минимум; если
не меняет знак, то экстремума нет.
Правило 2
.
Пусть в точке
первая производная функции
равна нулю
,
а вторая производная существует и
отлична от нуля. Если
,
то
– точка максимума, если
,
то
– точка минимума функции.
Пример 6.4 . Исследовать на максимум и минимум функции:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Решение.
1) Функция определена
и непрерывна на интервале
.
Найдем производную
и решим уравнение
,
т.е.
.Отсюда
– критические точки.
Определим знак
производной в интервалах
,
.
При переходе через
точки
и
производная меняет знак с «–» на «+»,
поэтому по правилу 1
– точки минимума.
При переходе через
точку
производная меняет знак с «+» на «–»,
поэтому
– точка максимума.
,
.
2) Функция определена
и непрерывна в интервале
.
Найдем производную
.
Решив уравнение
,
найдем
и
– критические точки. Если знаменатель
,
т.е.
,
то производная не существует. Итак,
– третья критическая точка. Определим
знак производной в интервалах.
Следовательно,
функция имеет минимум в точке
,
максимум в точках
и
.
3) Функция определена
и непрерывна, если
,
т.е. при
.
Найдем производную
.
Найдем критические
точки:
Окрестности точек
не принадлежат области определения,
поэтому они не являются т. экстремума.
Итак, исследуем критические точки
и
.
4) Функция определена
и непрерывна на интервале
.
Используем правило 2. Найдем производную
.
Найдем критические точки:
Найдем вторую
производную
и определим ее знак в точках
В точках
функция имеет минимум.
В точках
функция имеет максимум.
четной
, если при всех \(x\)
из ее области определения верно: \(f(-x)=f(x)\)
.
График четной функции симметричен относительно оси \(y\) :
Пример: функция \(f(x)=x^2+\cos x\) является четной, т.к. \(f(-x)=(-x)^2+\cos{(-x)}=x^2+\cos x=f(x)\) .
\(\blacktriangleright\)
Функция \(f(x)\)
называется нечетной
, если при всех \(x\)
из ее области определения верно: \(f(-x)=-f(x)\)
.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат:
Пример: функция \(f(x)=x^3+x\) является нечетной, т.к. \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\) .
\(\blacktriangleright\)
Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида. Такую функцию можно всегда единственным образом представить в виде суммы четной и нечетной функции.
Например, функция \(f(x)=x^2-x\) является суммой четной функции \(f_1=x^2\) и нечетной \(f_2=-x\) .
\(\blacktriangleright\) Некоторые свойства:
1) Произведение и частное двух функций одинаковой четности - четная функция.
2) Произведение и частное двух функций разной четности - нечетная функция.
3) Сумма и разность четных функций - четная функция.
4) Сумма и разность нечетных функций - нечетная функция.
5) Если \(f(x)\)
- четная функция, то уравнение \(f(x)=c \ (c\in
\mathbb{R}\)
) имеет единственный корень тогда и только когда, когда \(x=0\)
.
6) Если \(f(x)\) - четная или нечетная функция, и уравнение \(f(x)=0\) имеет корень \(x=b\) , то это уравнение обязательно будет иметь второй корень \(x=-b\) .
\(\blacktriangleright\)
Функция \(f(x)\)
называется периодической на \(X\)
, если для некоторого числа \(T\ne 0\)
выполнено \(f(x)=f(x+T)\)
, где \(x,
x+T\in X\)
. Наименьшее \(T\)
, для которого выполнено данное равенство, называется главным (основным) периодом функции.
У периодической функции любое число вида \(nT\) , где \(n\in \mathbb{Z}\) также будет являться периодом.
Пример: любая тригонометрическая функция является периодической;
у функций \(f(x)=\sin x\)
и \(f(x)=\cos x\)
главный период равен \(2\pi\)
, у функций \(f(x)=\mathrm{tg}\,x\)
и \(f(x)=\mathrm{ctg}\,x\)
главный период равен \(\pi\)
.
Для того, чтобы построить график периодической функции, можно построить ее график на любом отрезке длиной \(T\) (главный период); тогда график всей функции достраивается сдвигом построенной части на целое число периодов вправо и влево:
\(\blacktriangleright\)
Область определения \(D(f)\)
функции \(f(x)\)
- это множество, состоящее из всех значений аргумента \(x\)
, при которых функция имеет смысл (определена).
Пример: у функции \(f(x)=\sqrt x+1\) область определения: \(x\in
Задание 1 #6364
Уровень задания: Равен ЕГЭ
При каких значениях параметра \(a\) уравнение
имеет единственное решение?
Заметим, что так как \(x^2\)
и \(\cos x\)
- четные функции, то если уравнение будет иметь корень \(x_0\)
, оно также будет иметь и корень \(-x_0\)
.
Действительно, пусть \(x_0\)
– корень, то есть равенство \(2x_0^2+a\mathrm{tg}\,(\cos x_0)+a^2=0\)
верно. Подставим \(-x_0\)
: \(2
(-x_0)^2+a\mathrm{tg}\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm{tg}\,(\cos
x_0)+a^2=0\)
.
Таким образом, если \(x_0\ne 0\) , то уравнение уже будет иметь как минимум два корня. Следовательно, \(x_0=0\) . Тогда:
Мы получили два значения параметра \(a\) . Заметим, что мы использовали то, что \(x=0\) точно является корнем исходного уравнения. Но мы нигде не использовали то, что он единственный. Следовательно, нужно подставить получившиеся значения параметра \(a\) в исходное уравнение и проверить, при каких именно \(a\) корень \(x=0\) действительно будет единственным.
1) Если \(a=0\) , то уравнение примет вид \(2x^2=0\) . Очевидно, что это уравнение имеет лишь один корень \(x=0\) . Следовательно, значение \(a=0\) нам подходит.
2) Если \(a=-\mathrm{tg}\,1\) , то уравнение примет вид \ Перепишем уравнение в виде \ Так как \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\) , то \(-\mathrm{tg}\,1\leqslant \mathrm{tg}\,(\cos x)\leqslant \mathrm{tg}\,1\) . Следовательно, значения правой части уравнения (*) принадлежат отрезку \([-\mathrm{tg}^2\,1; \mathrm{tg}^2\,1]\) .
Так как \(x^2\geqslant 0\) , то левая часть уравнения (*) больше или равна \(0+ \mathrm{tg}^2\,1\) .
Таким образом, равенство (*) может выполняться только тогда, когда обе части уравнения равны \(\mathrm{tg}^2\,1\) . А это значит, что \[\begin{cases} 2x^2+\mathrm{tg}^2\,1=\mathrm{tg}^2\,1 \\ \mathrm{tg}\,1\cdot \mathrm{tg}\,(\cos x)=\mathrm{tg}^2\,1 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x=0\\ \mathrm{tg}\,(\cos x)=\mathrm{tg}\,1 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Следовательно, значение \(a=-\mathrm{tg}\,1\) нам подходит.
Ответ:
\(a\in \{-\mathrm{tg}\,1;0\}\)
Задание 2 #3923
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых график функции \
симметричен относительно начала координат.
Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной, то есть выполнено \(f(-x)=-f(x)\) для любого \(x\) из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin{aligned} &3\mathrm{tg}\,\left(-\dfrac{ax}5\right)+2\sin \dfrac{8\pi a+3x}4= -\left(3\mathrm{tg}\,\left(\dfrac{ax}5\right)+2\sin \dfrac{8\pi a-3x}4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm{tg}\,\dfrac{ax}5+2\sin \dfrac{8\pi a+3x}4= -\left(3\mathrm{tg}\,\left(\dfrac{ax}5\right)+2\sin \dfrac{8\pi a-3x}4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac{8\pi a+3x}4+\sin \dfrac{8\pi a-3x}4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac{8\pi a+3x}4+\dfrac{8\pi a-3x}4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac{8\pi a+3x}4-\dfrac{8\pi a-3x}4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \frac34 x=0 \end{aligned}\]
Последнее уравнение должно быть выполнено для всех \(x\) из области определения \(f(x)\) , следовательно, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb{Z}\) .
Ответ:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb{Z}\)
Задание 3 #3069
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \ имеет 4 решения, где \(f\) – четная периодическая с периодом \(T=\dfrac{16}3\) функция, определенная на всей числовой прямой, причем \(f(x)=ax^2\) при \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Задача от подписчиков)
Так как \(f(x)\) – четная функция, то ее график симметричен относительно оси ординат, следовательно, при \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^2\) . Таким образом, при \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) , а это отрезок длиной \(\dfrac{16}3\) , функция \(f(x)=ax^2\) .
1) Пусть \(a>0\)
. Тогда график функции \(f(x)\)
будет выглядеть следующим образом:
Тогда для того, чтобы уравнение имело 4 решения, нужно, чтобы график \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\)
проходил через точку \(A\)
:
Следовательно, \[\dfrac{64}9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &9(a+2)=32a\\
&9(a+2)=-32a \end{aligned} \end{gathered}\right.
\quad\Leftrightarrow\quad
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &a=\dfrac{18}{23}\\
&a=-\dfrac{18}{41} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]
Так как \(a>0\)
, то подходит \(a=\dfrac{18}{23}\)
.
2) Пусть \(a0\) ). Если произведение двух корней положительное и сумма их положительная, то и сами корни будут положительными. Следовательно, нужно: \[\begin{cases} 12-a>0\\-(a-10)>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad a