Генетические алгоритмы — математический аппарат. Введение.Основы генетических алгоритмов

Года четыре назад, в универе услышал о таком методе оптимизации, как генетический алгоритм. О нем везде сообщалось ровно два факта: он клёвый и он не работает. Вернее, работает, но медленно, ненадежно, и нигде его не стоит использовать. Зато он красиво может продемонстрировать механизмы эволюции. В этой статье я покажу красивый способ вживую посмотреть на процессы эволюции на примере работы этого простого метода. Нужно лишь немного математики, программирования и все это приправить воображением.

Кратко об алгоритме

Итак, что же такое генетический алгоритм? Это, прежде всего, метод многомерной оптимизации, т.е. метод поиска минимума многомерной функции. Потенциально этот метод можно использовать для глобальной оптимизации, но с этим возникают сложности, опишу их позднее.

Сама суть метода заключается в том, что мы модулируем эволюционный процесс: у нас есть какая-то популяция (набор векторов), которая размножается, на которую воздействуют мутации и производится естественный отбор на основании минимизации целевой функции. Рассмотрим подробнее эти процессы.

Итак, прежде всего наша популяция должна размножаться . Основной принцип размножения - потомок похож на своих родителей. Т.е. мы должны задать какой-то механизм наследования. И лучше будет, если он будет включать элемент случайности. Но скорость развития таких систем очень низкая - разнообразие генетическое падает, популяция вырождается. Т.е. значение функции перестает минимизироваться.

Для решения этой проблемы был введен механизм мутации , который заключается в случайном изменении каких-то особей. Этот механизм позволяет привнести что-то новое в генетическое разнообразие.
Следующий важный механизм - селекция . Как было сказано, селекция - отбор особей (можно из только родившихся, а можно из всех - практика показывает, что это не играет решающую роль), которые лучше минимизируют функцию. Обычно отбирают столько особей, сколько было до размножения, чтобы из эпохи в эпоху у нас было постоянное количество особей в популяции. Также принято отбирать «счастливчиков» - какое-то число особей, которые, возможно, плохо минимизируют функцию, но зато внесут разнообразия в последующие поколения.

Этих трех механизмов чаще всего недостаточно, чтобы минимизировать функцию. Так популяция вырождается - рано или поздно локальный минимум забивает своим значением всю популяцию. Когда такое происходит, проводят процесс, называемый встряской (в природе аналогии - глобальные катаклизмы), когда уничтожается почти вся популяция, и добавляются новые (случайные) особи.

Вот описание классического генетического алгоритма, он прост в реализации и есть место для фантазии и исследований.

Постановка задачи

Итак, когда я уже решил, что хочу попробовать реализовать этот легендарный (пусть и неудачливый) алгоритм, речь зашла о том, что же я буду минизимировать? Обычно берут какую-нибудь страшную многомерную функцию с синусами, косинусами и т.д. Но это не очень интересно и вообще не наглядно. Пришла одна незатейливая идея - для отображения многомерного вектора отлично подходит изображение, где значение отвечает за яркость. Таким образом, мы можем ввести простую функцию - расстояние до нашего целевого изображения, измеряемое в разности яркости пикселей. Для простоты и скорости я взял изображения с яркостью 0, либо 255.

С точки зрения математики такая оптимизация - сущий пустяк. График такой функции представляет собой огромную многомерную «яму» (как трехмерный парабалоид на рисунке), в которую неизбежно скатишься, если идти по градиенту. Единственный локальный минимум является глобальным. .

Проблема только в том, что уже близко к минимуму количество путей, по которым можно спуститься вниз сильно сокращается, а всего у нас столько направлений, сколько измерений (т.е. количество пикселей). Очевидно, что решать эту задачу при помощи генетического алгоритма не стоит, но мы можем посмотреть на интересные процессы, протекающие в нашей популяции.

Реализация

Были реализованы все механизмы, описанные в первом параграфе. Размножение проводилось простым скрещиванием случайных пикселей от «мамы» и от «папы». Мутации производились путем изменения значения случайного пикселя у случайной особи на противоположное. А встряска производилась, если минимум не меняется на протяжении пяти шагов. Тогда производится «экстремальная мутация» - замена происходит более интенсивно, чем обычно.

В качестве исходных картинок я брал нонограмы («японские сканворды»), но, по правде говоря, можно брать просто черные квадраты - нет абсолютно никакой разницы. Ниже показаны результаты для нескольких изображений. Здесь для всех, кроме «домика», количество мутаций было 100 в среднем на каждую особь, особей в популяции было 100, при размножении популяция увеличивалась в 4 раза. Счастливчиков было 30% в каждой эпохе. Для домика значения были выбраны меньшие (30 особей в популяции, мутаций по 50 на особь).

Экспериментально я установил, что использование «счастливчиков» в селекции понижает скорость стремления популяции к минимуму, но зато помогает выбираться из стагнации - без «счастливчиков» стагнация будет постоянна. Что можно увидеть из графиков: левый график - развитие популяции «фараона» со счастливчиками, правый - без счастливчиков.

Таким образом, мы видим, что этот алгоритм позволяет решить поставленную задачу, пусть и за очень долгое время. Слишком большое количество встрясок, в случае больших изображений, может решить большее количество особей в популяции. Оптимальный подбор параметров для разных размерностей я оставляю за рамками данного поста.

Глобальная оптимизация

Как было сказано, локальная оптимизация - задача довольно тривиальная, даже для многомерных случаев. Гораздо интересней посмтреть, как будет алгоритм справляться с глобальной оптимизацией. Но для этого нужно сначала построить функцию со множеством локальных минимумов. А это в нашем случае не так сложно. Достаточно брать минимум из расстояний до нескольких изображений (домик, динозаврик, рыбка, кораблик). Тогда первоначальный алгоритм будет «скатываться» в какую-то случайную ямку. И можно просто запускать его несколько раз.

Но есть более интересное решение данной проблемы: можно понять, что мы скатились в локальный минимум, сделать сильную встряску (или вообще инициировать особи заново), и в дальнейшем добавлять штрафы при приближении к известному минимуму. Как видно, картинки чередуются. Замечу, что мы не имеем права трогать исходную функцию. Но мы можем запоминать локальные минимумы и самостоятельно добавлять штрафы.

На этой картинке изображен результат, когда при достижении локального минимума (сильная стагнация), популяция просто вымирает.

Здесь популяция вымирает, и добавляется небольшой штраф (в размере обычного расстояния до известного минимума). Это сильно снижает вероятность повторов.

Более интересно, когда популяция не вымирает, а просто начинает подстрариваться под новые условия (след. рисунок). Это достигается при помощи штрафа в виде 0.000001 * sum ^ 4. В таком случае, новые образы становятся немного зашумлены:

Этот шум устраняется путем ограничения штрафа в max(0.000001 * sum ^ 4, 20). Но мы видим, что четвертого локального минимума (динозавра) достичь не удается - скорее всего, потому, что он слишком близко расположен к какому-то другому.

Биологическая интерпретация

Какие же выводы мы можем сделать из, не побоюсь этого слова, моделирования? Прежде всего, мы видим, половое размножение - важнейший двигатель развития и приспосабливаемости. Но только его не достаточно. Роль случайных, маленьких изменений чрезвычайна важна. Именно они обеспечивают возникновение новых видов животных в процессе эволюции, а у нас обеспечивает разнообразие популяции.

Важнейшую роль в эволюции Земли играли природные катаклизмы и массовые вымирания (вымирания динозавров, насекомых и т.д. - крупных всего было около десяти - см. диаграмму ниже). Это было подтверждено и нашим моделированием. А отбор «счастливчиков» показал, что самые слабые организмы на сегодня способны в будущем стать основой для последующих поколений.

Как говорится, все как в жизни. Этот метод «сделай эволюцию сам» наглядно показывает интересные механизмы и их роль в развитии. Конечно, существует много более стоящих эволюционных моделей (основанных, конечно, на дифурах), учитывающих больше факторов, более приближенные к жизни. Конечно, существуют более эффективные методы оптимизации.

P.S.

Писал программу на Matlab (вернее, даже на Octave), потому что тут все - голимые матрицы, и есть инструменты для работы с картинками. Исходный код прилагается.

Исходный код

function res = genetic(file) %generating global A B; im2line(file); dim = length(A(1,:)); count = 100; reprod = 4; mut = 100; select = 0.7; stagn = 0.8; pop = round(rand(count,dim)); res = ; B = ; localmin = ; localcount = ; for k = 1:300 %reproduction for j = 1:count * reprod pop = ; end %mutation idx = 10 * (length(res) > 5 && std(res(1:5)) == 0) + 1; for j = 1:count * mut a = floor(rand() * count) + 1; b = floor(rand() * dim) + 1; pop(a,b) = ~pop(a,b); end %selection val = func(pop); val(1:count) = val(1:count) * 10; npop = zeros(count,dim); = sort(val); res = ; opt = pop(i(1),:); fn = sprintf("result/%05d-%d.png",k,s(1)); line2im(opt*255,fn); if (s(1) == 0 || localcount > 10) localmin = ; localcount = ; B = ; % pop = round(rand(count,dim)); continue; % break; end for j = 1:floor(count * select) npop(j,:) = pop(i(j),:); end %adding luckers for j = (floor(count*select)+1) : count npop(j,:) = pop(floor(rand() * count) + 1,:); end %fixing stagnation if (length(res) > 5 && std(res(1:5)) == 0) if (localmin == res(1)) localcount = localcount+1; else localcount = 1; end localmin = res(1); for j = 1:count*stagn a = floor(rand() * count) + 1; npop(a,:) = crossingover(npop(a,:),rand(1,dim)); end end pop = npop; end res = res(length(res):-1:1); end function res = crossingover(a, b) x = round(rand(size(a))); res = a .* x + b .* (~x); end function res = func(v) global A B; res = inf; for i = 1:size(A,1) res = min(res,sum(v ~= A(i,:),2)); end for i = 1:size(B,1) res = res + max(0.000001 * sum(v == B(i,:),2) .^ 4,20); end end function = im2line(files) global A sz; A = ; files = cellstr(files); for i = 1:size(files,1) imorig = imread(char(files(i,:))); sz = size(imorig); A = )]; end A = A / 255; end function = line2im(im,file) global sz; imwrite(reshape(im*255,sz),file); end

Теги: Добавить метки

Одной из задач интеллектуальных систем является поиск оптимального решения: когда на систему влияет множество внешних и внутренних факторов, интеллектуальное устройство должно учесть их все и выбрать оптимальное поведение с точки зрения своей выгоды. Допустим, если Вы — хозяин склада, Вам необходимо учитывать много факторов (стоимость единиц товаров, спрос, издержки на хранение различных товаров на складе и т.д.) для минимизации издержек и получение наибольшей прибыли.

Другой пример: вы едете по скользкой дороге, и вдруг ваш автомобиль начинает заносить, справа в нескольких метрах от вас столб, а по встречной полосе едет грузовик. Внимание вопрос: как выйти из ситуации с наименьшими потерями, а лучше вообще без них. Факторов, которые нужно учитывать много: ваша скорость и скорость встречного автомобиля, расстояние до столба, «крутость» заноса и т.д. Что нужно делать? Давать газу, пытаясь выйти из заноса, или тормозить, или, может, попытаться аккуратно съехать в кювет, так чтобы не попасть в столб. Вариантов много, и для того чтобы определить оптимальный — нужно попробовать их все. Будь это компьютерной игрой – вы могли бы сохраниться и переигрывать до тех пор, пака результат вас не удовлетворит. Это и есть поиск оптимального решения.

В системах искусственного интеллекта для решения подобных задач применяются .

Генетические алгоритмы – адаптивные методы поиска, которые используются для решения задач функциональной оптимизации. Они основаны на механизмах и моделях эволюции, и генетических процессов биологических алгоритмов.

Скажем проще: по сути, генетический алгоритм — это метод перебора решений для тех задач, в которых невозможно найти решение с помощью математических формул. Однако простой перебор решений в сложной многомерной задаче – это бесконечно долго. Поэтому генетический алгоритм перебирает не все решения, а только лучшие. Алгоритм берёт группу решений и ищет среди них наиболее подходящие. Затем немного изменяет их – получает новые решения, среди которых снова отбирает лучшие, а худшие отбрасывает. Таким образом, на каждом шаге работы алгоритм отбирает наиболее подходящие решения (проводит селекцию), считая, что они на следующем шаге дадут ещё более лучшие решения (эволюционируют).

Причём тут биология?

Как вы уже поняли, в теории генетических алгоритмов проводится аналогия между задачей и биологическим процессом. Отсюда и терминология…

Особь – одно решение задачи.

Популяция — набор решений задачи. В начале алгоритма случайным образом генерируется набор решений (начальная популяция). Эти решения будут становиться лучше (эволюционировать) в процессе работы алгоритма до тех пор, пока не удовлетворят условиям задачи.

И сразу самый простой классический пример. Допустим, роботу необходимо объехать шесть контрольных точек за наименьшее время. Расстояние от каждой точки до каждой задано в виде матрицы расстояний.

Это вариация задачи о коммивояжёре (путешественнике) – относится к классу NP-полных, проще говоря, не может быть решена с помощью математических формул.

Решение задачи – это последовательность прохождения контрольных точек. Возьмём несколько возможных решений (особей)– это и есть .

Определения качества решений

Функция пригодности – функция определяющая качество особей популяции. В нашем примере это будет сумма расстояний от точки до точки в выбранном маршруте.

ФП = Р(1)+Р(2)+Р(3)+Р(4)+Р(5)+Р(6),

где Р(1) … Р(6) – расстояние между точками в соответствующем переходе из матрицы расстояний

Нам необходимо найти минимальное расстояние, поэтому, чем меньше значение ФП для особи, тем лучше.

Давайте посчитаем функции пригодности. Для первой особи:

Для остальных особей таким же образом получаем.

В последнее время все больше «ходят» разговоры про новомодные алгоритмы, такие как нейронные сети и генетический алгоритм. Сегодня я расскажу про генетические алгоритмы, но давайте на этот раз постараемся обойтись без заумных определений и сложных терминах.
Как сказал один из великих ученных: «Если вы не можете объяснить свою теорию своей жене, ваша теория ничего не стоит!» Так давайте попытаемся во всем разобраться по порядку.

Щепотка истории

Как говорит Википедия: «Отец-основатель генетических алгоритмов Джон Холланд, который придумал использовать генетику в своих целях аж в 1975 году». Для справки в этом же году появился Альтаир 8800, и нет, это не террорист, а первый персональный компьютер. К тому времени Джону было уже целых 46 лет.

Где это используют

Поскольку алгоритм самообучающийся, то спектр применения крайне широк:

Задачи на графы
Задачи компоновки
Составление расписаний
Создание «Искусственного интеллекта»

Принцип действия

Генетический алгоритм - это в первую очередь эволюционный алгоритм, другими словами, основная фишка алгоритма - скрещивание (комбинирование). Как несложно догадаться идея алгоритма наглым образом взята у природы, благо она не подаст на это в суд. Так вот, путем перебора и самое главное отбора получается правильная «комбинация».
Алгоритм делится на три этапа:

Скрещивание
Селекция (отбор)
Формирования нового поколения

Если результат нас не устраивает, эти шаги повторяются до тех пор, пока результат нас не начнет удовлетворять или произойдет одно из ниже перечисленных условий:

Количество поколений (циклов) достигнет заранее выбранного максимума
Исчерпано время на мутацию

Более подробно о шагах

Создание новой популяции . На этом шаге создается начальная популяция, которая, вполне возможно, окажется не кошерной, однако велика вероятность, что алгоритм эту проблему исправит. Главное, чтобы они соответствовали «формату» и были «приспособлены к размножению».
Размножение . Ну тут все как у людей, для получения потомка требуется два родителя. Главное, чтобы потомок (ребенок) мог унаследовать у родителей их черты. При это размножаются все, а не только выжившие (эта фраза особенно абсурдна, но так как у нас все в сферическом вакууме, то можно все), в противном случае выделится один альфа самец, гены которого перекроют всех остальных, а нам это принципиально не приемлемо.
Мутации . Мутации схожи с размножением, из мутантов выбирают некое количество особей и изменяют их в соответствии с заранее определенными операциями.
Отбор . Тут начинается самое сладкое, мы начинаем выбирать из популяции долю тех, кто «пойдет дальше». При этом долю «выживших» после нашего отбора мы определяем заранее руками, указывая в виде параметра. Как ни печально, остальные особи должны погибнуть.

Практика

Вы успешно прослушали «сказку» про чудо-алгоритм и вполне возможно заждались, когда мы его начнем эксплуатировать наконец, хочу вас обрадовать, время настало.
Давайте рассмотрим на примере моих любимых Диофантовых уравнений (Уравнения с целочисленными корнями).
Наше уравнение: a+2b+3c+4d=30
Вы наверно уже подозреваете, что корни данного уравнения лежат на отрезке , поэтому мы берем 5
случайных значений a,b,c,d. (Ограничение в 30 взято специально для упрощения задачи)
И так, у нас есть первое поколение:

(1,28,15,3)
(14,9,2,4)
(13,5,7,3)
(23,8,16,19)
(9,13,5,2)

Для того чтобы вычислить коэффициенты выживаемости, подставим каждое решение в выражение. Расстояние от полученного значения до 30 и будет нужным значением.

|114-30|=84
|54-30|=24
|56-30|=26
|163-30|=133
|58-30|=28

Меньшие значения ближе к 30, соответственно они более желанны. Получается, что большие значения будут иметь меньший коэффициент выживаемости. Для создания системы вычислим вероятность выбора каждой (хромосомы). Но решение заключается в том, чтобы взять сумму обратных значений коэффициентов, и исходя из этого вычислять проценты. (P.S. 0.135266 - сумма обратных коэффициентов )

(1/84)/0.135266 = 8.80%
(1/24)/0.135266 = 30.8%
(1/26)/0.135266 = 28.4%
(1/133)/0.135266 = 5.56%
(1/28)/0.135266 = 26.4%

Далее будем выбирать пять пар родителей, у которых будет ровно по одному ребенку. Давать волю случаю мы будем давать ровно пять раз, каждый раз шанс стать родителем будет одинаковым и будет равен шансу на выживание.
3-1, 5-2, 3-5, 2-5, 5-3
Как было сказано ранее, потомок содержит информацию о генах отца и матери. Это можно обеспечить различными способами, но в данном случае будет использоваться «кроссовер». (| = разделительная линия)

Х.-отец: a1 | b1,c1,d1 Х.-мать: a2 | b2,c2,d2 Х.-потомок: a1,b2,c2,d2 or a2,b1,c1,d1
Х.-отец: a1,b1 | c1,d1 Х.-мать: a2,b2 | c2,d2 Х.-потомок: a1,b1,c2,d2 or a2,b2,c1,d1
Х.-отец: a1,b1,c1 | d1 Х.-мать: a2,b2,c2 | d2 Х.-потомок: a1,b1,c1,d2 or a2,b2,c2,d1

Есть очень много путей передачи информации потомку, а кросс-овер - только один из множества. Расположение разделителя может быть абсолютно произвольным, как и то, отец или мать будут слева от черты.
А теперь сделаем тоже самое с потомками:

Х.-отец: (13 | 5,7,3) Х.-мать: (1 | 28,15,3) Х.-потомок: (13,28,15,3)
Х.-отец: (9,13 | 5,2) Х.-мать: (14,9 | 2,4) Х.-потомок: (9,13,2,4)
Х.-отец: (13,5,7 | 3) Х.-мать: (9,13,5 | 2) Х.-потомок: (13,5,7,2)
Х.-отец: (14 | 9,2,4) Х.-мать: (9 | 13,5,2) Х.-потомок: (14,13,5,2)
Х.-отец: (13,5 | 7, 3) Х.-мать: (9,13 | 5, 2) Х.-потомок: (13,5,5,2)

Теперь вычислим коэффициенты выживаемости потомков.

(13,28,15,3) - |126-30|=96(9,13,2,4) - |57-30|=27
(13,5,7,2) - |57-30|=22
(14,13,5,2) - |63-30|=33
(13,5,5,2) - |46-30|=16
Печально так как средняя приспособленность (fitness) потомков оказалась 38.8, а у родителей этот коэффициент равнялся 59.4. Именно в этот момент целесообразнее использовать мутацию, для этого заменим один или более значений на случайное число от 1 до 30.
Алгоритм будет работать до тех, пор, пока коэффициент выживаемости не будет равен нулю. Т.е. будет решением уравнения.
Системы с большей популяцией (например, 50 вместо 5-и сходятся к желаемому уровню (0) более быстро и стабильно.
Код
На этом простота заканчивается и начинается чудесный C++...
Класс на C++ требует 5 значений при инициализации: 4 коэффициента и результат. Для вышепривиденного примера это будет выглядеть так: CDiophantine dp(1,2,3,4,30);
Затем, чтобы решить уравнение, вызовите функцию Solve(), которая возвратит аллель, содержащую решение. Вызовите GetGene(), чтобы получить ген с правильными значениями a, b, c, d. Стандартная процедура main.cpp, использующая этот класс, может быть такой:
#include "" #include "diophantine.h" void main() { CDiophantine dp(1,2,3,4,30); int ans; ans = dp.Solve(); if (ans == -1) { cout << "No solution found." << endl; } else { gene gn = dp.GetGene(ans); cout << "The solution set to a+2b+3c+4d=30 is:\n"; cout << "a = " << gn.alleles << "." << endl; cout << "b = " << gn.alleles << "." << endl; cout << "c = " << gn.alleles << "." << endl; cout << "d = " << gn.alleles << "." << endl; } }
Сам класс CDiophantine:
#include #include #define MAXPOP 25 struct gene { int alleles; int fitness; float likelihood; // Test for equality. operator==(gene gn) { for (int i=0;i<4;i++) { if (gn.alleles[i] != alleles[i]) return false; } return true; } }; class CDiophantine { public: CDiophantine(int, int, int, int, int);// Constructor with coefficients for a,b,c,d. int Solve();// Solve the equation. // Returns a given gene. gene GetGene(int i) { return population[i];} protected: int ca,cb,cc,cd;// The coefficients. int result; gene population;// Population. int Fitness(gene &);// Fitness function. void GenerateLikelihoods(); // Generate likelihoods. float MultInv();// Creates the multiplicative inverse. int CreateFitnesses(); void CreateNewPopulation(); int GetIndex(float val); gene Breed(int p1, int p2); }; CDiophantine::CDiophantine(int a, int b, int c, int d, int res) : ca(a), cb(b), cc(c), cd(d), result(res) {} int CDiophantine::Solve() { int fitness = -1; // Generate initial population. srand((unsigned)time(NULL)); for(int i=0;i 25) break; } temppop[i] = Breed(parent1, parent2);// Create a child. } for(i=0;i
Статья основана на материалах Википедии и сайта

Природа поражает своей сложность и богатством всех своих проявлений. Среди примеров можно назвать сложные социальные системы, иммунные и нейронные системы, сложные взаимосвязи между видами. Они - всего лишь некоторые из чудес, которые стали более очевидны, когда мы стали глубже исследовать себя самих и мир вокруг нас. Наука - это одна из сменяющих друг друга систем веры, которыми мы пытается объяснять то, что наблюдаем, этим самым изменяя себя, чтобы приспособиться к новой информации, получаемой из внешнего мира. Многое из того, что мы видим и наблюдаем, можно объяснить единой теорией: теорией эволюции через наследственность, изменчивость и отбор.

Теория эволюции повлияла на изменение мировоззрения людей с самого своего появления. Теория, которую Чарльз Дарвин представил в работе, известной как "Происхождение Видов", в 1859 году, стала началом этого изменения. Многие области научного знания в настоящее время наслаждаются свободой мысли в атмосфере, которая многим обязана революции, вызванной теорией эволюции и развития. Но Дарвин, подобно многим своим современникам, кто предполагал, что в основе развития лежит естественный отбор, не мог не ошибаться. Например, он не смог показать механизм наследования, при котором поддерживается изменчивость. Его гипотеза о пангенезисе оказалась неправильной. Это было на пятьдесят лет до того, как теория наследственности начала распространяться по миру, и за тридцать лет до того, как "эволюционный синтез" укрепил связь между теорией эволюции и относительно молодой наукой генетикой. Однако Дарвин выявил главный механизм развития: отбор в сочетании с изменчивостью или, как он его называл, "спуск с модификацией". Во многих случаях, специфические особенности развития через изменчивость и отбор все еще не бесспорны, однако, основные механизмы объясняют невероятно широкий спектр явлений, наблюдаемых в Природе.

Поэтому неудивительно, что ученые, занимающиеся компьютерными исследованиями, обратились к теории эволюции в поисках вдохновения. Возможность того, что вычислительная система, наделенная простыми механизмами изменчивости и отбора, могла бы функционировать по аналогии с законами эволюции в природных системах, была очень привлекательна. Эта надежда стала причиной появления ряда вычислительных систем, построенных на принципах естественного отбора.

История эволюционных вычислений началась с разработки ряда различных независимых моделей. Основными из них были генетические алгоритмы и классификационные системы Голланда (Holland), опубликованные в начале 60-х годов и получившие всеобщее признание после выхода в свет книги, ставшей классикой в этой области, - "Адаптация в естественных и искусственных системах" ("Adaptation in Natural and Artifical Systems", 1975). В 70-х годах в рамках теории случайного поиска Растригиным Л.А. был предложен ряд алгоритмов, использующих идей бионического поведения особей. Развитие этих идей нашло отражение в цикле работ Букатовой И.Л. по эволюционному моделированию. Развивая идеи Цетлина М.Л. о целесообразном и оптимальном поведении стохастических автоматов, Неймарк Ю.И. предложил осуществлять поиск глобального экстремума на основе коллектива независимых автоматов, моделирующих процессы развития и элиминации особей. Большой вклад в развитие эволюционного программирования внесли Фогел (Fogel) и Уолш (Walsh). Несмотря на разницу в подходах, каждая из этих "школ" взяла за основу ряд принципов, существующих в природе, и упростила их до такой степени, чтобы их можно было реализовать на компьютере.

Главная трудность с возможностью построения вычислительных систем, основанных на принципах естественного отбора и применением этих систем в прикладных задачах, состоит в том, что природные системы достаточно хаотичны, а все наши действия, фактически, носят четкую направленность. Мы используем компьютер как инструмент для решения определенных задач, которые мы сами и формулируем, и мы акцентируем внимание на максимально быстром выполнении при минимальных затратах. Природные системы не имеют никаких таких целей или ограничений, во всяком случае нам они не очевидны. Выживание в природе не направлено к некоторой фиксированной цели, вместо этого эволюция совершает шаг вперед в любом доступномее направлении.

Возможно это большое обобщение, но я полагаю, что усилия, направленные на моделирование эволюции по аналогии с природными системами, к настоящему времени можно разбить на две большие категории: 1) системы, которые смоделированы на биологических принципах. Они успешно использовались для задач типа функциональной оптимизации и могут легко быть описаны на небиологическом языке, 2) системы, которые являются биологически более реалистичными, но которые не оказались особенно полезными в прикладном смысле. Они больше похожи на биологические системы и менее направлены (или ненаправлены вовсе). Они обладают сложным и интересным поведением, и, видимо, вскоре получат практическое применение.

Конечно, на практике мы не можем разделять эти вещи так строго. Эти категории - просто два полюса, между которыми лежат различные вычислительные системы. Ближе к первому полюсу - эволюционные алгоритмы, такие как Эволюционное Программирование (Evolutionary Programming), Генетические Алгоритмы (Genetic Algorithms) и Эволюционные Стратегии (Evolution Strategies). Ближе ко второму полюсу - системы, которые могут быть классифицированы как Искусственная Жизнь (Artificial Life).

Конечно, эволюция биологических систем не единственный "источник вдохновения" создателей новых методов, моделирующих природные процессы. Нейронные сети (neural networks), например, основаны на моделировании поведения нейронов в мозге. Они могут использоваться для ряда задач классификации, например, задачи распознавания образов, машинного обучения, обработки изображений и др. Область их приложения частично перекрывается со сферой применения ГА. Моделируемый отжиг (simulated annealing) - другая методика поиска, которая основана скорее на физических, а не биологических процессах.

Генетические алгоритмы предназначены для решения задач оптимизации. Примером подобной задачи может служить обучение нейросети, то есть подбора таких значений весов, при которых достигается минимальная ошибка. При этом в основе генетического алгоритма лежит метод случайного поиска. Основным недостатком случайного поиска является то, что нам неизвестно сколько понадобится времени для решения задачи. Для того, чтобы избежать таких расходов времени при решении задачи, применяются методы, проявившиеся в биологии. При этом используются методы открытые при изучении эволюции и происхождения видов. Как известно, в процессе эволюции выживают наиболее приспособленные особи. Это приводит к тому, что приспособленность популяции возрастает, позволяя ей лучше выживать в изменяющихся условиях.

Впервые подобный алгоритм был предложен в 1975 году Джоном Холландом (John Holland) в Мичиганском университете. Он получил название "репродуктивный план Холланда" и лег в основу практически всех вариантов генетических алгоритмов. Однако, перед тем как мы его рассмотрим подробнее, необходимо остановится на том, каким образом объекты реального мира могут быть закодированы для использования в генетических алгоритмах.

Представление объектов

Из биологии мы знаем, что любой организм может быть представлен своим , который фактически определяет, чем является объект в реальном мире, и генотипом , который содержит всю информацию об объекте на уровне хромосомного набора. При этом каждый ген, то есть элемент информации генотипа, имеет свое отражение в фенотипе. Таким образом, для решения задач нам необходимо представить каждый признак объекта в форме, подходящей для использования в генетическом алгоритме. Все дальнейшее функционирование механизмов генетического алгоритма производится на уровне генотипа, позволяя обойтись без информации о внутренней структуре объекта, что и обуславливает его широкое применение в самых разных задачах.

В наиболее часто встречающейся разновидности генетического алгоритма для представления генотипа объекта применяются битовые строки. При этом каждому атрибуту объекта в фенотипе соответствует один ген в генотипе объекта. Ген представляет собой битовую строку, чаще всего фиксированной длины, которая представляет собой значение этого признака.

Кодирование признаков, представленных целыми числами

Для кодирования таких признаков можно использовать самый простой вариант – битовое значение этого признака. Тогда нам будет весьма просто использовать ген определенной длины, достаточной для представления всех возможных значений такого признака. Но, к сожалению, такое кодирование не лишено недостатков. Основной недостаток заключается в том, что соседние числа отличаются в значениях нескольких битов, так например числа 7 и 8 в битовом представлении различаются в 4-х позициях, что затрудняет функционирование генетического алгоритма и увеличивает время, необходимое для его сходимости. Для того, чтобы избежать эту проблему лучше использовать кодирование, при котором соседние числа отличаются меньшим количеством позиций, в идеале значением одного бита. Таким кодом является код Грея, который целесообразно использовать в реализации генетического алгоритма. Значения кодов Грея рассмотрены в таблице ниже:

Таблица 1. Соответствие десятичных кодов и кодов Грея

Двоичное кодирование			Кодирование по коду Грея
Десятичный код	Двоичное значение	Шестнадцатеричное значение	Десятичный код	Двоичное значение	Шестнадцатеричное значение
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Таким образом, при кодировании целочисленного признака мы разбиваем его на тетрады и каждую тетраду преобразуем по коду Грея.

В практических реализациях генетических алгоритмов обычно не возникает необходимости преобразовывать значения признака в значение гена. На практике имеет место обратная задача, когда по значению гена необходимо определить значение соответствующего ему признака.

Таким образом, задача декодирования значения генов, которым соответствуют целочисленные признаки, тривиальна.

Кодирование признаков, которым соответствуют числа с плавающей точкой

Самый простой способ кодирования, который лежит на поверхности – использовать битовое представление. Хотя такой вариант имеет те же недостатки, что и для целых чисел. Поэтому на практике обычно применяют следующую последовательность действий:

Разбивают весь интервал допустимых значений признака на участки с требуемой точностью.
Принимают значение гена как целочисленное число, определяющее номер интервала (используя код Грея).
В качестве значения параметра принимают число, являющиеся серединой этого интервала.

Рассмотрим вышеописанную последовательность действий на примере:

Допустим, что значения признака лежат в интервале . При кодировании использовалось разбиение участка на 256 интервалов. Для кодирования их номера нам потребуется таким образом 8 бит. Допустим значение гена: 00100101bG (заглавная буква G показывает, что используется кодирование по коду Грея). Для начала, используя код Грея, найдем соответствующий ему номер интервала: 25hG->36h->54d. Теперь посмотрим, какой интервал ему соответствует… После несложных подсчетов получаем интервал . Значит значение нашего параметра будет (0,20703125+0,2109375)/2=0,208984375.

Кодирование нечисловых данных

При кодировании нечисловых данных необходимо предварительно преобразовать их в числа. Более подробно это описано в статьях нашего сайта, посвященных использованию нейронных сетей.

Определение фенотипа объекта по его генотипу

Таким образом, для того, чтобы определить фенотип объекта (то есть значения признаков, описывающих объект) нам необходимо только знать значения генов, соответствующим этим признакам, то есть генотип объекта. При этом совокупность генов, описывающих генотип объекта, представляет собой хромосому . В некоторых реализациях ее также называют особью. Таким образом, в реализации генетического алгоритма хромосома представляет собой битовую строку фиксированной длины. При этом каждому участку строки соответствует ген. Длина генов внутри хромосомы может быть одинаковой или различной. Чаще всего применяют гены одинаковой длины. Рассмотрим пример хромосомы и интерпретации ее значения. Допустим, что у объекта имеется 5 признаков, каждый закодирован геном длинной в 4 элемента. Тогда длина хромосомы будет 5*4=20 бит

0010

1010

1001

0100

1101

теперь мы можем определить значения признаков

Признак	Значение гена	Двоичное значение признака	Десятичное значение признака
Признак 1
Признак 2
Признак 3
Признак 4
Признак 5

Основные генетические операторы

Как известно в теории эволюции важную роль играет то, каким образом признаки родителей передаются потомкам. В генетических алгоритмах за передачу признаков родителей потомкам отвечает оператор, который называется скрещивание (его также называют кроссовер или кроссинговер). Этот оператор определяет передачу признаков родителей потомкам. Действует он следующим образом:

из популяции выбираются две особи, которые будут родителями;
определяется (обычно случайным образом) точка разрыва;
потомок определяется как конкатенация части первого и второго родителя.

Рассмотрим функционирование этого оператора:

Затем с вероятностью 0,5 определяется одна из результирующих хромосом в качестве потомка.

Следующий генетический оператор предназначен для того, чтобы поддерживать разнообразие особей с популяции. Он называется оператором мутации . При использовании данного оператора каждый бит в хромосоме с определенной вероятностью инвертируется.

Кроме того, используется еще и так называемый оператор инверсии , который заключается в том, что хромосома делится на две части, и затем они меняются местами. Схематически это можно представить следующим образом

000

1111111

000

В принципе для функционирования генетического алгоритма достаточно этих двух генетических операторов, но на практике применяют еще и некоторые дополнительные операторы или модификации этих двух операторов. Например, кроссовер может быть не одноточечный (как было описано выше), а многоточечный, когда формируется несколько точек разрыва (чаще всего две). Кроме того, в некоторых реализациях алгоритма оператор мутации представляет собой инверсию только одного случайно выбранного бита хромосомы.

Схема функционирования генетического алгоритма

Теперь, зная как интерпретировать значения генов, перейдем к описанию функционирования генетического алгоритма. Рассмотрим схему функционирования генетического алгоритма в его классическом варианте.

Инициировать начальный момент времени $t=0$. Случайным образом сформировать начальную популяцию, состоящую из $k$ особей. $B_0 = \{A_1,A_2, \dots, A_k\}$
Вычислить приспособленность каждой особи $F_{Ai} = fit(A_i)$ , $i=1…k$ и популяции в целом $F_t = fit(B_t)$ (также иногда называемую термином фиттнес). Значение этой функции определяет насколько хорошо подходит особь, описанная данной хромосомой, для решения задачи.
Выбрать особь $A_c$ из популяции $A_c = \mbox Get(B_t)$
С определенной вероятностью (вероятностью кроссовера $P_c$) выбрать вторую особь из популяции $A_{c1} = \mbox Get(B_t)$ и произвести оператор кроссовера $A_c = \mbox {Crossing}(A_c, A_{c1})$.
С определенной вероятностью (вероятностью мутации $P_m$) выполнить оператор мутации $A_c = \mbox {mutation}(A_c)$.
С определенной вероятностью (вероятностью инверсии $P_i$) выполнить оператор инверсии $A_c = \mbox {inversion}(A_c)$.
Поместить полученную хромосому в новую популяцию $\mbox {insert} (B_{t+1},A_c)$.
Выполнить операции, начиная с пункта 3, $k$ раз.
Увеличить номер текущей эпохи $t=t+1$.
Если выполнилось условие останова, то завершить работу, иначе переход на шаг 2.

Теперь рассмотрим подробнее отдельные этапы алгоритма.

Наибольшую роль в успешном функционировании алгоритма играет этап отбора родительских хромосом на шагах 3 и 4. При этом возможны различные варианты. Наиболее часто используется метод отбора, называемый рулеткой . При использовании такого метода вероятность выбора хромосомы определяется ее приспособленностью, то есть $P_{Get(Ai)} ~ Fit(A_i)/Fit(B_t)$. Использование этого метода приводит к тому, что вероятность передачи признаков более приспособленными особями потомкам возрастает. Другой часто используемый метод – турнирный отбор . Он заключается в том, что случайно выбирается несколько особей из популяции (обычно 2) и победителем выбирается особь с наибольшей приспособленностью. Кроме того, в некоторых реализациях алгоритма применяется так называемая стратегия элитизма , которая заключается в том, что особи с наибольшей приспособленностью гарантировано переходят в новую популяцию. Использование элитизма обычно позволяет ускорить сходимость генетического алгоритма. Недостаток использования стратегии элитизма в том, что повышается вероятность попадания алгоритма в локальный минимум.

Другой важный момент – определение критериев останова. Обычно в качестве них применяются или ограничение на максимальное число эпох функционирования алгоритма, или определение его сходимости, обычно путем сравнивания приспособленности популяции на нескольких эпохах и остановки при стабилизации этого параметра.